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马尔可夫模型下的贫富差距

过年都在谈计划,关键词是增长,每个人都想来年比今年更好。那么问题来了,在一个稳定的社会中大家都想富裕是否可能?当然可能,毕竟都在创造价值。那说的更现实些,谈钱呢?假如说家庭年均收入超过X可认为富裕,当前富裕的人继续保持富裕的概率为p,而当前不富裕的人继续不富裕的概率为q,那么我们可以构建下面的转移矩阵:

转移矩阵 | 富人t | 穷人t | ——— | —– | —– | 富人(t+1) | p | 1-q | 穷人(t+1) | 1-p | q |

这个矩阵的意思就是如果当前社会中存在穷人与富人,富人在下一刻还是富人的概率是p,变成穷人的概率是1-p;穷人在下一刻还是穷人的概率是q,变成富人的概率是1-q。在这个视角下选取合适的时间间隔t进行考察,如果当前富裕人的比例是W,穷人比例是1-W,那么在下一刻富裕人的比例就会变成:

$$W * p + (1-W) * (1-q)$$

而穷人的比例为:

$$W * (1-p) + (1-W) * q$$

我们假定在社会中这个转移矩阵是相对稳定的,那么不断迭代这个转移矩阵最终会达到一个稳态,因为这个过程是符合马尔可夫模型假设的,而符合假设的结论就是可以到达稳态,也就是最终贫富比例的稳定。其假设如下:

1 状态有限(本例中进行二分,富人和穷人) 2 状态可互变(本例中存在一个转移矩阵,表示下一刻状态变换的概率) 3 状态的转移矩阵维持不变(刚才迭代的隐含假设就是状态不变)

最终比例会恒定为:

$$W * p + (1-W) * (1-q) = W$$

整理,有:

$$\frac{1-W}{W} = \frac{1-p}{1-q}$$

这下就有意思了,在一个符合马尔可夫模型的稳态社会中,富人变穷人的可能与穷人变富人的可能的比例等于稳态社会中穷人与富人的比值。还是说人话吧,如果稳态社会中穷人是富人的四倍(二八原理),那么富人变成穷人的概率也要是穷人变富人概率的四倍。再换句话就是当贫富差距比例比较大的时候,若想维持社会中的贫富差距,富人变成穷人的风险要比穷人变富的概率大很多。那么稳态社会的富人就会说:我有我的资源与信息渠道,根据马太效应会越来越富,我不接受这个风险。那么好了,看上面的等式,稳态社会中穷富比不变,富变穷的风险不变,穷变富的可能也就被决定下来了,如果富变穷的可能非常小,那么穷变富的可能会比这个数还要小,要除以穷富比。换言之,稳态社会中富人如果想维持自己的个体富裕身份不变,只有通过挤压穷人变富的渠道才能完成。这样的社会只有通过集权或种性制度才能维持,在历史上似乎也长期被这种模式控制。

贫富差距的维持对任何政府都是很困难的,政府要保证公平就要维持穷人变富的可能,同时,如果不能提高富人变穷的比例,整个贫富比会变小,也就是大家都富裕了,这很理想,也就是不合实际的意思。其实借助 agent-based model(ABM) 拿过诺奖的谢林给出了一个自发形成的模型,也就是著名的种族隔离模型。下图表示在某个空间区域里随机放等量的点:

如果我们可以接受周围人有50%的相似度,也就是说,如果红点附近8个点有4个是红色,那么这个中心点就不会变化,如果只有3个,那么中心红点就随机与空间里另一个位置的点互换,这个过程不断迭代,我们会看到下面的场景:

最终的稳态显示每个点与周围点的平均相似度为87.4%,换句话讲,即使你自己觉得周围一半跟你不相似都可以接受,整体上实际造成了同群聚集。如果我可以接受的相似度是70%呢?

最终整体上相似度为99.6%,你个人可能不极端,你所在的群体却会整体显示出聚集与隔离。如果个人可接受的相似度高于80%呢?额,这个场景永远不会收敛,所有人都会不满而不断搬家。那么现实状态会不会与模型模拟一样呢?我们看一下纽约的信息图:

不同颜色代表不同种族,红色是白种人,蓝色是黑人,黄色是拉美人,绿色是亚洲人,很清晰的种族隔离分布。据说在南非,取消了隔离区后,种族隔离情况依旧严重,该情况也很自然的发生在贫富隔离上。富人更有机会选择跟不穷的人住在一起,个体意愿越强烈,整体表现就愈加强烈。

回到刚才说的,如果没有机制限制膨胀的个人意愿,自发组织的社会很有可能出现剧变,放到模型里就是转移矩阵的剧变或个人意愿的剧变。这个机制可以是管理层面,也可以是个人精神层面。再回到最初说的,现在其实是存在不用劳动,依靠资本升值来积累财富的人,例如一线城市依靠房租生活的人,对他们而言,劳动与否看个人意愿而毫无生存压力。其实发达国家也有这样的,但一方面由于整体收入就高,贫富对立由于大量中产的稀释其实不大,另一方面,最富的那些人或家族其实是通过让一般富的人变穷而不是让穷人没有变富途径来维持整体比例的。对于另外一些国家,刚才所说的转移矩阵直接不存在,也就是一个对角阵,完全封死贫富交流,这样也可以实现稳态。

同样,这个转移矩阵其实是对偶的,也就是说二八分不是富贫而是贫富分的话就可以用在消除贫困上了,想提高整体财富,可以考虑提高贫穷向富裕的可能性,降低富裕向贫穷的可能性。从这个角度看,后者是自发的,前者是可以通过策略布局实现的。不过这跟上面的论述原理上实质等同,但解决的问题不一样。

参考资料:

1 马尔可夫模型

2 谢林隔离模型

3 图片用NetLogo生成

4 纽约隔离图来自网络,如有侵权,烦请告知